Àrea del trapezi: fórmules i mètodes de càlcul

Taula de continguts:

Àrea del trapezi: fórmules i mètodes de càlcul
Àrea del trapezi: fórmules i mètodes de càlcul
Anonim

Per tenir confiança i resoldre amb èxit els problemes a les lliçons de geometria, no n'hi ha prou amb aprendre fórmules. Primer s'han d'entendre. Tenir por, i encara més odiar les fórmules, és improductiu. En aquest article, s'analitzaran diverses maneres de trobar l'àrea d'un trapezi en un llenguatge accessible. Per a una millor assimilació de les regles i teoremes corresponents, pararem una mica d'atenció a les seves propietats. Això us ajudarà a entendre com funcionen les regles i en quins casos s'han d'aplicar determinades fórmules.

Definir un trapezi

zona trapezoïdal
zona trapezoïdal

Quina és aquesta xifra en general? Un trapezi és un polígon amb quatre angles i dos costats paral·lels. Els altres dos costats del trapezi es poden inclinar en angles diferents. Els seus costats paral·lels s'anomenen bases, i per als costats no paral·lels s'utilitza el nom de "costats" o "malucs". Aquestes xifres són força habituals a la vida quotidiana. Els contorns del trapezi es poden veure en les siluetes de roba, articles d'interior, mobles, plats i molts altres. El trapezi pot ser de diferents tipus: versàtil, isòsceles i rectangular. Analitzarem els seus tipus i propietats amb més detall més endavant a l'article.

Propietats trapezoïdals

quina és l'àrea del trapezi
quina és l'àrea del trapezi

Detenem-nos breument en les propietats d'aquesta figura. La suma dels angles adjacents a qualsevol costat és sempre 180°. Cal tenir en compte que tots els angles d'un trapezi sumen 360°. El trapezi té el concepte de línia mitjana. Si connecteu els punts mitjans dels costats amb un segment, aquesta serà la línia mitjana. Es designa m. La línia mitjana té propietats importants: sempre és paral·lela a les bases (recordem que les bases també són paral·leles entre elles) i igual a la seva mitja suma:

m=(a+b)/2.

Aquesta definició s'ha d'aprendre i entendre, perquè és la clau per resoldre molts problemes!

Al trapezi, sempre pots baixar l'alçada fins a la base. Una altitud és una perpendicular, sovint denotada amb el símbol h, que es dibuixa des de qualsevol punt d'una base fins a una altra base o la seva extensió. La línia mitjana i l'alçada us ajudaran a trobar l'àrea del trapezi. Aquestes tasques són les més habituals al curs de geometria de l'escola i apareixen regularment entre els treballs de control i d'examen.

Les fórmules més senzilles per a l'àrea d'un trapezi

zona trapezoïdal
zona trapezoïdal

Analitzem les dues fórmules més populars i senzilles que ajuden a trobar l'àrea d'un trapezi. N'hi ha prou amb multiplicar l'alçada per la meitat de la suma de les bases per trobar fàcilment el que busques:

S=h(a + b)/2.

En aquesta fórmula, a, b denoten les bases del trapezi, h - l'alçada. Per facilitar la lectura, en aquest article, els signes de multiplicació estan marcats amb el símbol () a les fórmules, tot i que als llibres de referència oficials el signe de multiplicació s'acostuma a ometre.

Considerem un exemple.

Donat: un trapezi amb dues bases de 10 cm i 14 cm i una alçada de 7 cm. Quina és l'àrea del trapezi?

Analitzem la solució a aquest problema. Utilitzant aquesta fórmula, primer heu de trobar la meitat de la suma de les bases: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Per tant, la meitat de la suma és de 12 cm. Ara multipliquem la meitat de la suma per l'alçada: 127 \u003d 84. Es troba el desitjat. Resposta: L'àrea d'un trapezi és de 84 metres quadrats. veure

La segona fórmula coneguda diu: l'àrea d'un trapezi és igual al producte de la línia mitjana per l'alçada del trapezi. És a dir, en realitat es desprèn del concepte anterior de la línia mitjana: S=mh.

zona trapezoïdal
zona trapezoïdal

Ús de diagonals per als càlculs

Una altra manera de trobar l'àrea d'un trapezi en realitat no és tan difícil. Està connectat amb les seves diagonals. Segons aquesta fórmula, per trobar l'àrea, heu de multiplicar el mig producte de les seves diagonals (d1 d2) pel sinus del angle entre ells:

S=½ d1 d2 sin a.

Considerem un problema que mostra l'aplicació d'aquest mètode. Donat: un trapezi amb una longitud diagonal de 8 i 13 cm, respectivament. L'angle a entre les diagonals és de 30°. Troba l'àrea del trapezi.

Decisió. Amb la fórmula anterior, és fàcil calcular el que es requereix. Com sabeu, sin 30° és 0,5. Per tant, S=8130,5=52. Resposta: La superfície és de 52 metres quadrats. veure

Buscant l'àrea d'un trapezi isòsceles

El trapezi pot ser isòsceles (isòsceles). Els seus costats són iguals I els angles a les bases són iguals, cosa que està ben il·lustrada a la figura. Un trapezi isòsceles té les mateixes propietats que un trapezi regular, a més d'un nombre d'especials. Es pot circumscriure un cercle al voltant d'un trapezi isòsceles i s'hi pot inscriure un cercle.

trobar l'àrea del trapezi
trobar l'àrea del trapezi

Quins són els mètodes per calcular l'àrea d'aquesta figura? El mètode següent requerirà molts càlculs. Per utilitzar-lo, cal conèixer els valors del sinus (sin) i del cosinus (cos) de l'angle a la base del trapezi. Els seus càlculs requereixen taules de Bradis o una calculadora d'enginyeria. Aquesta és la fórmula:

S=c sin a (a – c cos a), on c és la cuixa lateral, a és l'angle a la base inferior.

Un trapezi isòsceles té diagonals de la mateixa longitud. El contrari també és cert: si les diagonals d'un trapezi són iguals, llavors és isòsceles. D'aquí la fórmula següent, que ajuda a trobar l'àrea d'un trapezi: el mig producte del quadrat de les diagonals i el sinus de l'angle entre elles: S=½ d2pecat a.

Cerca l'àrea d'un trapezi rectangular

zona trapezoïdal
zona trapezoïdal

Hi ha un cas especial d'un trapezi rectangular. Aquest és un trapezi, en el qual un costat (la cuixa) s'uneix a les bases en angle recte. Té les propietats d'un trapezi normal. A més, té una característica molt interessant. La diferència dels quadrats de les diagonals d'aquest trapezi és igual a la diferència dels quadrats de les seves bases. Per a això, s'utilitzen tots els mètodes donats anteriorment per calcular l'àrea.

Usa el teu enginy

Hi ha un truc que pot ajudar en cas d'oblit de fórmules específiques. Mirem més de prop què és un trapezi. Si el dividim mentalment en parts, obtindrem formes geomètriques conegudes i comprensibles: un quadrat o un rectangle i un triangle (un o dos). Si coneixeu l'alçada i els costats del trapezi, podeu utilitzar les fórmules per a l'àrea d'un triangle i un rectangle i, a continuació, sumar tots els valors obtinguts.

Il·lustrem-ho amb l'exemple següent. Donat un trapezi rectangular. Angle C=45°, els angles A, D són 90°. La base superior del trapezi és de 20 cm, l'alçada és de 16 cm. Cal calcular l'àrea de la figura.

Decisió

Aquesta figura, òbviament, consta d'un rectangle (si dos angles fan 90°) i un triangle. Com que el trapezi és rectangular, per tant, la seva alçada és igual al seu costat, és a dir, 16 cm Tenim un rectangle de costats de 20 i 16 cm, respectivament. Considereu ara un triangle l'angle del qual és de 45°. Sabem que un dels seus costats fa 16 cm Com que aquest costat també és l'alçada del trapezi (i sabem que l'alçada cau sobre la base en angle recte), per tant, el segon angle del triangle és de 90°. Per tant, l'angle restant del triangle és de 45°. Com a conseqüència d'això, obtenim un triangle isòsceles rectangle, en el qual dos costats són iguals. Això vol dir que l' altre costat del triangle és igual a l'alçada, és a dir, 16 cm. Queda per calcular l'àrea d'un triangle i un rectangle i sumar els valors resultants.

L'àrea d'un triangle rectangle és igual a la meitat del producte dels seus catets: S=(1616)/2=128. L'àrea d'un rectangle és igual al producte de la seva amplada i longitud: S=2016=320. Hem trobat el requerit: l'àrea del trapezi S=128 + 320=448 sq. vegeu Podeu comprovar-vos fàcilment mitjançant les fórmules anteriors, la resposta serà idèntica.

Utilitza la fórmula màxima

zona trapezoïdal
zona trapezoïdal

Per últim, aquí teniu una altra fórmula original que ajuda a trobar l'àrea d'un trapezi. S'anomena fórmula Pick. És convenient utilitzar-lo quan el trapezi està dibuixat sobre paper a quadres. Sovint es troben tasques similars als materials del GIA. Sembla així:

S=M/2 + N – 1, en aquesta fórmula M és el nombre de nodes, és a dir. interseccions de les línies de la figura amb les línies de la cel·la a les vores del trapezi (punts taronges a la figura), N és el nombre de nodes dins de la figura (punts blaus). El més convenient és utilitzar-lo quan es troba l'àrea d'un polígon irregular. Tanmateix, com més gran sigui l'arsenal de tècniques utilitzades, menys errors i millors resultats.

Per descomptat, la informació anterior està lluny d'esgotar els tipus i propietats d'un trapezi, així com les maneres de trobar la seva àrea. Aquest article ofereix una visió general de les seves característiques més importants. A l'hora de resoldre problemes geomètrics, és important actuar gradualment, començar amb fórmules i problemes fàcils, consolidar constantment la comprensió, passar a un altre nivell de complexitat.

Les fórmules més habituals reunides ajudaran els estudiants a navegar per les diferents maneres de calcular l'àrea d'un trapezi i preparar-se millor per a proves i proves sobre aquest tema.

Recomanat: